Реферат: Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі
Поняття геометричного місця точок у просторі (ГМТ) має велике методичне і загальноосвітнє значення. Неможливо переоцінити його роль у розвитку просторової уяви.
Розв'язування задач, в яких застосовуються геометричні місця точок як на площині, так і в просторі, активізують творчу думку і фантазію, розвивають логічне мислення, кмітливість, змушують перебирати в пам’яті всі відомі теореми з метою відбору і застосування найбільш придатної з них.
Однак, між ГМТ на площині і ГМТ у просторі є принципова різниця.
У планіметрії ГМТ можна побудувати за допомогою креслярських інструментів. Наприклад, коло побудувати за допомогою циркуля, пряму, промінь, відрізок - за допомогою лінійки.
У стереометрії не існує реального інструмента ''сферографа", щоб побудувати у просторі сферу або лінію перетину двох сфер, якщо вона існує.
Звичайно, ці побудови можна здійснити на проекційному кресленні, але виконання їх у більшості випадків громіздке, потребує багато часу і неабияких креслярських знань і навичок.
У просторі доводиться обмежуватись "уявним" проведенням прямих, площин, сфер тощо. Можливість таких побудов встановлюється певними аксіомами.
Що ж таке геометричне місце точок у просторі?
На площині ГМТ визначається так:
Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.
Якщо на площині розглядається геометричне місце тільки точок, то у просторі можна розглядати геометричні місця не тільки точок, але й ліній (як прямих, так і кривих), і тому можна дати таке означення ГМТ у просторі:
Геометричним місцем точок у просторі називається деяка фігура, що складається з усіх об’єктів простору, положення яких задовольняє одній або кільком певним умовам.
У цьому формулюванні замість слова "точка" застосовується термін “об’єкт”, бо це більш широке поняття і включає в себе не тільки точки, але й лінії. При цьому часто одну і ту ж геометричну фігуру можна розглядати як геометричне місце точок і як геометричне місце ліній.
Наприклад, площини α1 , α2 , паралельні площині β і віддалені від неї на відстань a , є:
- геометричне місце точок простору, віддалених від площини β на відстань a ;
- геометричне місце прямих простору, паралельних площині β і віддалених від неї на відстань a ;
- геометричне місце кривих, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань a ;
- геометричне місце фігур, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань а.
Циліндрична поверхня, утворена обертанням прямої навколо паралельної їй прямої АВ і віддаленої від неї на відстань a, є:
- геометричне місце точок простору, віддалених на відстань a від даної прямої АВ;
- геометричне місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ і віддалених від неї на відстань a ;
- геометричне місце кіл радіуса a , центри яких лежать на даній прямій АВ, а їх площини перпендикулярні до АВ;
- геометричне місце рівних еліпсів, центри яких знаходятся на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один і той же кут α.
Геометричні місця у просторі надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричних місць на площині, є ніби їх стереометричними аналогами (наприклад, сфера є стереометричний аналог кола, площина - аналог прямої тощо).
При переході до вивчення просторових геометричних місць точок доцільно пригадати основні геометричні місця точок на площині. Причому отримані результати зручно подати у вигляді таблиці.
| Геометричні місця точок | |
| На площині | У просторі |
| 1 | 2 |
|
1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a , є коло радіуса a з центром у точці О. 2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є круг з центром у точці О радіуса a . 3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є прямаl , яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього. 4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є точка О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС. --> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <-- К-во Просмотров: 281
Бесплатно скачать Реферат: Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі
|