Реферат: Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a , b , є пряма c – вісь симетрії цих прямих, якщо a ||b , або дві взаємно перпендикулярні прямі m in – бісектриси вертикальних кутів, утворених при перетині даних прямих, якщо a xb = 0.

Зауваження.

Поверхня гіперболічного параболоїда може бути описана прямою, яка при своєму русі перетинає дві мимобіжні прямі a , b і залишається весь час паралельною до - площини їх паралелелізму.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a , b , c , є: точка0 , якщо a xb x с = 0 ; дві точки M,N, якщо a ||b , с перетинає їх (M,N – точки перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими); чотири точки K,L,M,N– центри вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b xc , B = a xc , C = a xb ), або Æ, якщо прямі a, b , с паралельні.

1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a , є сфера радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є площина , яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a , є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l .

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a , b , є площина b , якщо a ||b , або дві взаємно перпендикулярні щини a , b , які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a іb , якщо a xb = 0 , або гіперболічний параболоїд, якщо a іb мимобіжні.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a , b , c , які лежать в одній площині a, є: пряма m , яка проходить через точку 0 = a xb x с і перпендикулярна до площини a, дві прямі m , n , які перпендикулярні до площини a і проходять черезточки M,N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими; якщо a ||b , с перетинає їх; чотири прямі k , l , m , n , перпендикулярні до площини a в точках K,L,M,N – центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b xc , B = a xc , C = a xb ), або Æ, якщо прямі a, b ,с паралельні.

Зауваження. Якщо три прямі не лежать в одній площині, то можливі випадки, які на площині не мають аналогів.

а) Прямі перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох прямих a , b , c , що перетинаються в одній точці і не належать одній площині, є чотири прямі, які проходять через цю точку.

Для побудови цих прямих розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих a , b . Це будуть дві цілком визначені площини , β (г.м.т. 6). Аналогічно геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих b , c , будуть площини γ, δ (г.м.т. 6); від прямих a , c – площини і (г.м.т.6). Площини α, β перетинаються з площинами γ, δ, і по чотирьом прямим k , l , m in , які проходять через точку перетину трьох даних прямих a , b , c . Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а, b , c ,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

б) Прямі a , b , c паралельні між собою і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m , паралельна до даних.

Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a , c ; b , c ; a , b . Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.

Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.

8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини α на відстань a , є дві площини γ і β, паралельні до α і віддалені від неї на відстань a .

Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.

9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин α і β, є площина ζ, якщо дані площини паралельні, або дві площини γ, δ, якщо дані площини перетинаються, причому:

- ζ – площина, паралельна до площин α та β і ділить відстань між ними

навпіл.

- γ, δ – перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами α та β.

10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або Æ:

- одна пряма буде у випадку, коли три площини α, β, γ мають спільну пряму a . Шуканим геометричним місцем точок є пряма a ;

- якщо дві площини α, β паралельні, а третя γ їх перетинає, то шукане геометричне місце точок, рівновіддалених від цих площин, є дві прямі a і b, паралельні до них, які утворюються у перетині бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: a, g ; b, g і належать площині d, рівновіддаленій від площин a і b;

- якщо площини α, β, γ попарно перетинаються по паралельним прямим, то геометричне місце точок рівновіддалених від цих площин, є чотири прямі a , b , c , d , паралельні до ліній їх перетину (мал. 7), які є перетином бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: a, b ; a, g ; b, g ;