Реферат: Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

Исполнитель: Орехова Ксения Ивановна,

учащаяся 9Б класса

Руководитель: Горский Сергей Михайлович,

учитель информатики

Государственного учреждения образования

«Гимназия №71 г. Гомеля»

Гомель

2008

Содержание

Введение

1. История интегрального и дифференциального исчисления

2. Дифференциал в физике

3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

4. Дифференциальные уравнения

5. Примеры решения задач в matlab

Список использованных источников

Введение

Факультативный курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» имеет своей целью изучение курса математического анализа на основе практического освещения материала, на основе использования методов данного раздела математики для решения задач геометрии и физики; а так же реализации этих задач на компьютере (с помощью пакета MATLAB).

В результате можно сказать, что такое объёмное, не конкретное формулирование темы и цели факультативного курса даёт возможным его реализацию в школе. В школьном курсе алгебры и начал анализа курс «Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» направлен на изучение определённого интеграла.

Место темы в школьном курсе математики .

Факультативный курс «Применение интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач» углубляет материал курса алгебры и начал анализа в одиннадцатом классе и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс математики. Это темы «Производная функции», «Определённый интеграл» в алгебре, и некоторые темы в геометрии и физике. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

Развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьютере. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB, ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки изучения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета расширения SymbolicMathToolbox.

Основные понятия факультативного курса : определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, объём тела и др.

Цели факультативного курса.

1. Обучающие : провести практическое закрепление по теме «Определённый интеграл», познакомить учащихся с пакетом математических и инженерных вычислений MATLAB 6.1, проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с геометрией, информатикой и физикой.

2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.

3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).


1. История интегрального и дифференциального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 – 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда

Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя. Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.

Кроме этого Архимед дал оценку числа «пи» (), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (х) , которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь, по меньшей мере, сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и Э. Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип для площадей плоских фигур: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины. Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--

К-во Просмотров: 467
Бесплатно скачать Реферат: Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab