Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости
Р2 построено на базе V3
прямая l -V2 ÌV3
прямая m -V2' ÌV3
1) V2¹V2', так как l ¹m
2) V2ÇV2'=V1 - порождает ()А; l Çm =A
так как V1ÌV2 ÞAÎl
V1ÌV2'ÞAÎm ; ()А - единственная.
l и m пересекаются в единственной ()А.
3) Точки проективного пространства Р3 называются линейно зависимыми (линейно независимыми), если векторы порождающие их из пространства V4 линейно зависимы (линейно независимы).
На проективной плоскости $ три линейно независимые точки и они не лежат на одной прямой. Так как в V3 $ тройка линейно независимых векторов {e1,e2,e3}, то эта тройка на проективной плоскости порождает тройку линейно независимых точек Е1, Е2, Е3.
Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. Если бы эти точки принадлежали одной прямой, то вектора порождающие их должны были принадлежать V2, чего быть не может, так как эти вектора линейно независимы.
Вывод: точки Е1, Е2, Е3 не лежат на одной прямой и эти точки Е1, Е2, Е3 - линейно независимы.
4) На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Доказательство: Прямой l ÎP2 соответствует в векторном пространстве V3 двумерное подпространство V2. Пусть V2 натянуто на векторы a и b . Вектор с = a + b , с ÎV2. Соответствующие точки А,В,СÎl и различны.
Вывод: На каждой прямой лежит не менее трех точек.
Замечание : Любая четверка точек проективной плоскости линейно зависима.
1.3. Модели проективной плоскости.
1) Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.
Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную ().
Эта () - называется центром связки.
Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение j множества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА //a .
 |
 |
Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.
1)j- сюрьективно, так как у " прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m // ОМ
2)если 2 вектора коллинеарны a //a 1, то образы совпадают - это будет прямая ОА, j(a )=j(a 1)=OA.
Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.
Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.
Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости.
| Свойства проективной плоскости | Реализация на модели |
|
1)Через две любые точки проходит единственная прямая 2)" две прямые на проективной плоскости пересекаются 3)$ три () не лежащие на одной прямой К-во Просмотров: 511
Бесплатно скачать Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости
|