Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости

1)Через " две точки проходит единственная прямая

- через две пары диаметрально противоположных точек сферы íМ',М''ý и íN',N''ý проходит единственная окружность большого радиуса.

2)" две прямые проективной плоскости пересекаются

-" две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально противоположных точках.

3)$ три точки не лежащие на одной прямой

-$ три пары диаметрально противоположных точек Ï одной окружности большого радиуса. Например: точки N={N',N''},K={K',K''},P={P',P''}.

4)На каждой прямой лежит не менее трех точек

-рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой прямой лежит не менее трех точек.

1.4. Теорема Дезарга.

При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема Дезарга, которая гласит:

Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

AB ÇA'B '=P, ACÇA'C'=Q, B CÇB 'C'=R, AA'ÇBB 'ÇCC'=O,

P,Q,R- лежат в одной прямой?

Доказательство:

Рассмотрим векторы O,A,A',B ,B ',C,C',P,Q,R порождающие соответствующие (), так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. O= a A + a 'A'.

Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой Þ В, В', О- линейно зависимы ÞO= bB + b 'B '

()С, С', О - лежат на одной прямой ÞO= c C + c 'C'

a A + a 'A' = bB + b 'B ' = c C + c 'C'

a A - bB = b 'B ' - a 'A' = P (1)

А,В,Р - линейно зависимы Þ () А,В,Р Î одной прямой, А',В',Р'- линейно зависимы Þ()А',В',Р' Î одной прямой.

P=AB ÇA'B '

a A - c C = c 'C' - a 'A' (2)

А,С,Q- линейно зависимы Þ()А,С,QÎ одной прямой.

А',С',Q'- линейно зависимы Þ()А',С',Q' Î одной прямой.

Следовательно, Q=АСÇА'С'

bB - c C = c' C' - b 'B ' = R (3)

В,С,R –линейно зависимы Þ()В,С,RÎ одной прямой.

В',С',R' –линейно зависимы Þ()В',С',R' Î одной прямой

Следовательно, R=ВСÇВ'С'.