Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости

P=ABÇA'B', Q=ACÇA'C', R=BCÇB'C', AA'ÇBB'ÇCC'=Q

P,Q,R лежат на одной прямой.

Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А,В,С,О за фундаментальные:

А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)

Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как А¹А', то а'=aА + dq

????? ???????? d=1. ????? ???????? ?'=a? +q. ???? ????? ????????? ? ? ?????? ???????? ?????????????? A'B'C'. ??????? ?'(a+1,1,1), ?'(1,b+1,1), ?'(1,1,g+1) ????????? ?????? ??:

так как R= BCÇB’C’

С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,R лежат на одной прямой.

Имеем a -b 0 a -b 0

a 0 g = a -b 0 =0

0 -b -g 0 -b -g

Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,RÎ одной прямой.

Теорема доказана.

Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.

3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.

Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.

Определение : Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.

А1: Для " двух различных точек Р и Q$ единственная прямая, проходящая через них.

Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.

А2: Для " заданной прямой l и точки Р $ одна и только одна проходящая через Р прямая m : m || l

А3: $ три неколлинеарные точки (Точки Р1,Р2,…Рn называются коллинеарными, если $ прямая l , что все эти точки ей принадлежат).

Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.

Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.

Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их через P ,Q,R. Согласно А2, $ прямая l , проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая $ по А1). Точно так же доказывается $ прямой

m || P Q, проходящей через R.

Покажем теперь, что l || m .

же S¹R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.

Теперь рассмотрим прямые P R и QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться - это не противоречит аксиомам.

В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре () P ,Q,R,S и шесть прямых P Q,РR,P S,QR,QS,RS.

Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость , содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.

3.2. Аксиоматика проективной плоскости.