Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости

П1.Через две различные точки P и Q плоскости S можно провести единственную прямую.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точки.

П3. $ три неколлинеарные точки.

П4. Прямая содержит, по меньшей мере, три точки.

3.3. Модели проективной плоскости.

1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель проективной плоскости.

Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

П1. Пусть P и QÎ

1. Если Р и Q - собственные (), то через них можно провести только одну прямую.

2. Если Р - собственная точка p, а Q- несобственная точка, то по аксиоме А2 $ прямая m , такая, что РÎm и m || l , так , что QÎ пополнению прямой m до прямой из p. Прямая m -единственная прямая p, проходящая через Р и Q.

3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.

П2. Пусть заданы прямые l и m .

1.Если l и m - несобственные прямые и l || m , то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m , то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

2.Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p. Действительно, в p$ только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р,Q,R ей не принадлежат.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в p каждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.

2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.

Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

Определим () пересечения прямых АВÇCD=N ¥, BCÇAD=M ¥, АCÇBC=P ¥N ¥, P ¥, M ¥Î одной несобственной прямой.

П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.

Если А,В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А,В Î несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.

Рассмотрим А- собственная () и N ¥- несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () N ¥ определена как пересечение прямых АВ и CDÞN ¥ÎАВ.

Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.

П3. $ три неколлинеарные точки.

Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками N ¥, P ¥, M ¥ (несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 - проективная плоскость.

3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.