Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости
- векторы 
линейно зависимы Þ ()P,Q,R лежат на одной прямой.
Теорема доказана.
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ÇВВ'ÇСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
|
Замечание : ????????????? - ??? ??????, ??????? ??????? ?? ???? ????? ?? ??????? ?? ????? ?????? ? ?????? ?????????? ????? ?????? ???? ???? ?????. |
А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны
1.5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.
 |
рис. 1
Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ÇA’B=P,AC’ÇA'C=Q, BC’ÇB’C=R.(рис. 1)
P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)
Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l ' , которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ÇА'В, Q=А'СÇАС', R=ВС'ÇВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.
 |
Рис. 2
*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.
 |
 |
 |
Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.
Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.
Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2.1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1,Х2,Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:
С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)
где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1,Х2,Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном l тройка (lХ1, lХ2, lХ3) удовлетворяет уравнению (1).
Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.
(mС1)Х 1+ (mС2)Х 2+ (mС3)Х 3=0 (2)
при "mÎR: m¹0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1,С2,С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1,С2,С3)}.
Равенство (2) можно записать также в виде
СХ=0 (3)
Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0
Замечание : Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3\{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат \{0} назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).
В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка (Х1,Х2,Х3), а каждому классу эквивалентности из L3\{0} (т.е. проективной ())- класс {(Х1,Х2,Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.
2.2. Свойства проективной плоскости.