Реферат: Разностные аппроксимации

Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h , т.е. множество точек

w _h ={x_i =ih, i=0, ± 1, ± 2,…}.

Пусть u(x) – достаточно гладкая функция, заданная на отрезке [x_i-1 , x_i+1 ]. Обозначим

Разностные отношения

называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке x_i , т.е. при фиксированном x_i и при h®0 (тем самым при i®¥) пределом этих отношений является u’(x_i ) . Проводя разложение по формуле Тейлора, получим

u_x,i – u’(x_i ) = 0,5hu’’(x_i ) + O(h² ),

u_x,i – u’(x_i ) = -0,5hu’’(x_i ) + O(h² ),

u_x,i – u’(x_i ) = O(h² ),

Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u’(x) с первым порядком по h , а центральная разностная производная – со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная

аппроксимирует u’’(x_i ) со вторым порядком по h , причем справедливо разложение

Рассмотрим дифференциальное выражение

(1)

с переменным коэффициентом k(x) . Заменим выражение (1) разностным отношением

(2)

где a=a(x) – функция, определенная на сетке w_h . Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (au_x )_x,i аппроксимировало (ku’)’ в точке x_i со вторым порядком по h . Подставляя в (2) разложения

??? u_i ’ = u’(x_i ) , ???????

С другой стороны, Lu = (ku’)’ = ku’’ + k’u’,

?.?.

Отсюда видно, что L_h u–Lu = O(h² ) , если выполнены условия

(3)

Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации . При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удовлетворяют, например, следующие функции:

Заметим, что если положить a_i = k(x_i ), то получим только первый порядок аппроксимации.

В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа

(4)

Введем на плоскости (x₁ , x₂ ) прямоугольную сетку с шагом h₁ по направлению x₁ и с шагом h₂ по направлению x₂ , т.е. множество точек

w _h = {(xⁱ ₁ , x^j ₂ ) | xⁱ ₁ = ih₁ , x^j ₂ = jh₂ ; i, j = 0, ± 1, ± 2,…},

и обозначим

Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выражение

(5)

аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т.е. L_h u_ij – Lu(xⁱ ₁ , x^j ₂ ) = O(h² ₁ ) + O(h² ₂ ). Более того, для функций u(x₁ , x₂ ), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение

Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа , так как оно содержит значения функции u(x₁ , x₂ ) в пяти точках сетки, а именно в точках (x₁ ⁱ , x₂ ^j ), (x₁ ^{i ± 1} , x₂ ^j ), (x₁ ⁱ , x₂ ^{j ± 1} ). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек.

2. Исследование аппроксимации и сходимости

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--