Реферат: Разностные аппроксимации

(21)

где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

0 < c₁ £ k(x, t) £ c₂ , r (x, t) ³ c₃ > 0 . (22)

Дифференциальное выражение при каждом

фиксированном t аппроксимируем в точке (x_i , t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением

(23)

где разностный коэффициент теплопроводности a(x_i , t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации

Наиболее употребительны следующие выражения для a(x_i , t) :

Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид

(24)

Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [t_n , t_n+1 ] , например t = t_n + 0,5 t . Если в уравнении (24) t = t_n + 0,5 t , s = 0,5 , то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h . При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h .

При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(x_i , t) º 0 , т.е. схему

(25)

Предположим, что коэффициенты r (x_i , t), a(x_i , t) – постоянные, r (x_i , t) º r = const, a(x_i , t) º a = const . Тогда уравнение (25) можно записать в виде

или

Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t ’ £ 0,5h² , т.е. при

(26)

Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(x_i , t), r (x_i , t) , т.е. если при всех x, t выполнены неравенства

(27)

Если известно, что 0 < c₁ £ a(x_i , t) £ c₂ , r (x_i , t) ³ c₃ > 0 , то неравенство (27) будет выполнено при

Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.

Если параметр s³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).

Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности

(28)

В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u) , избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно y_i ⁿ⁺² , i = 1, 2,…, N – 1 , имеет вид

(29)

где a_i = 0,5 (k(yⁿ _i ) + k(yⁿ _i-1 )) . Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h . Решение y_i ⁿ⁺¹ , i = 1, 2,…, N – 1 , находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде

где k_i = k(y_i ⁿ ) .

Часто используется нелинейная схема