Реферат: Разностные аппроксимации

(k(x) u’(x))’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1)

– k(0) u’(0) + b u(0) = m ₁ , u(l) = m ₂ , (2)

k(x) ³ c₁ > 0, b ³ 0,

для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема

(3)

(4)

где

(5)

(6)

Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через L_h y_i – левую часть уравнения (3), т.е.

Пусть u (x) – достаточно гладкая функция и u (x_i ) – ее значение в точке x_i сетки

w _h = {x_i = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7)

Говорят, что разностный оператор L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=x_i , если разность L_h u _i – L_h u (x_i ) стремится к нулю при h®0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1).

Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=x_i значения u _{i ± 1} = u (x_i ± h) , входящие в разностное выражение L_h u _i . Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях

(8)

выполняется соотношение

Если кроме того, докажем, что

d_i = q(x_i ) + O(h² ), j _i = f(x_i ) + O(h² ) (9)

то тем самым будет установлено, что оператор L_h аппроксимирует L со вторым порядком по h , т.е.

L_h u _i – L u (x_i ) = O(h² ), i = 1, 2,…, N–1 (10)

Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k^-1 (x) , получим

следовательно,

Аналогично

Отсюда получим

т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями q_i , f_i соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования.

2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим l_h u (0) = –a₁ u _{x, 0} + b u ₀ . Если u (x) – произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно

l_h u (0) = –k(0) u ’(0) + b u (0) + O(h) ,

т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h . Однако если u =u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е.

Докажем последнее утверждение. Используя разложение