Реферат: Разностные аппроксимации

Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (x_i , t_n ), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (x_{i ± 1} , t_n ), (x_i , t_n ), (x_i , t_n+1 ). Производную ¶u/¶t заменим в точке (x_i , t_n ) разностным отношением yⁿ _{t, i} , а производную ¶² u/¶² x – второй разностной производной yⁿ _{xx, i} . Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией jⁿ _i , в качестве jⁿ _i можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разносное уравнение

(5)

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (x_i , t_n ) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j ⁿ _i – f(x_i , t_n ) имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

(6)

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y⁰ _i = u₀ (x_i ), i = 0, 1,…, N . Если решение yⁿ _i , i = 0, 1,…, N , на слое n уже найдено, то решение y_i ⁿ⁺¹ на слое n+1 находится по явной формуле

(7)

а значения доопределяются изграничных

условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения y_i ⁿ⁺¹ при заданных y_i ⁿ требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность z_i ⁿ = y_i ⁿ – u(x_i , t_n ) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) y_i ⁿ = z_i ⁿ + u(x_i , t_n ) , получим уравнение для погрешности

(8)

где – погрешность аппроксимации разностной

схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y _i ⁿ = O( t + h² ) . Можно оценить решение z_i ⁿ уравнения (8) через правую часть y_i ⁿ и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник . Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h² , означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.

Рассмотрим уравнение

(9)

т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид

y_j ⁿ ( j ) = qⁿ e^{ijh j} , (10)

где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e^{ijh j} , получим

откуда найдем

(11)

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g£ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t£ 0,5h² . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h² £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10^-2 . Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10^-4 , и для того чтобы вычислить решение y_j ⁿ при t = 1 , надо взять число шагов по времени n = t^-1 ³ 2 * 10⁴ , т.е. провести не менее 2 * 10⁴ вычислений по формулам (7).

3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (x_i , t_n ), (x_{i ± 1} , t_n+1 ), (x_i , t_n+1 ) и имеющая вид

(12)

Здесь j ⁿ _i = f(x_i , t_n+1 ) + O( t + h² ) . Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения yⁱ _n+1 по известным y_i ⁿ требуется решить систему уравнений

(13)

где g = t /h² , F_i ⁿ = y_i ⁿ + t j _i ⁿ . Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения