Реферат: Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

y_{i+1 *} = y_i + h f( x_i ; y_i ), где i = 0,1,2 ... n

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_{i+1 *} )) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (x_n - x_o ) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1*, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.

Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1*, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

1.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ

По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / Ö0.3 ) с начальными условиями x₀ = 0.7, y₀ = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1 .

По формуле метода Эйлера -Коши

y_{i+1 *} = y_i + h f( x_i ; y_i ),

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_{i+1 *} )) / 2

Найдем y_{1 *} и y₁

f( x₀ ; y₀ ) = 0.7 + cos (2.1 / Ö0.3 ) = - 0.069675

x₁ = x₀ + h = 0.7 + 0.1=0.8

y_1* = y₀ + h * f( x₀ ; y₀ ) = 2.1 + 0.1 * (- 0.069675) = 2.093032

y₁ = y₀ + h * (f( x₀ ; y₀ ) + f( x₀ + h ; y_1* )) / 2 = 2.1 + 0.1 * ((- 0.069675) + 0.022266)/2 =

= 2.09763

Аналогично найдём остальные значения x и y :

f( x₁ ; y₁ ) = 0.8 + cos (2.09763/ Ö0.3 ) = 0.02757

x₂ = 0.8 + 0.1 = 0.9

y_2* = 2.09763 + 0.1 * 0.02757 = 2.100387

y₂ = 2.09763 + 0.1 * (0.02757 + 0.130776) / 2 = 2.105547

f( x₂ ; y₂ ) = 0.9 + cos (2.105547 / Ö0.3 ) = 0.136831

x₃ = 0.9 + 0.1 = 1

y_3* = 2.105547 + 0.1 * 0.136831 = 2.11923

y₃ = 2.105547 + 0.1 * (0.136831 + 0.25321) / 2 = 2.125049

f( x₃ ; y₃ ) = 1 + cos (2.125049 / Ö0.3 ) = 0.260317

x₄ = 1+ 0.1 = 1.1

y_4* = 2.125049 + 0.1 * 0.260317 = 2.1510807