Реферат: Системи випадкових величин

Нехай система двох залежних випадкових величин. І нехай необхідно дослідити залежність випадкових величин одне від одного. Досить часто випадкова величина Y апроксимується лінійною функцією випадкової величини X :

, (3.1)

a , b -параметри, які необхідно обчислити. Функція , яка забезпечує мінімум математичного сподівання

називається середньоквадратичною регресією Y на X . Дещо громізкими, але простими викладками можна довести ,що

.(3.2)

Доведення .

Точки мінімуму функції знаходяться як розв’язок системи рівнянь

З врахуванням цього ця система рівнянь запишеться у вигляді

,

розв’язок якої

, ,(3.3)

а значить середньоквадратична регресія Y на X остаточно запишеться у вигляді

(3.4)

Коефіцієнт називають коефіцієнтом середньоквадратичної регресії Y на X, а пряму

(3.5)

прямою середньої квадратичної регресії Y на X.

Мінімальне значення функції (3.2)при значеннях a , b (3.3б)дорівнює і називається залишковою дисперсією випадкової величини Y відносно величини X . Вона характеризує похибку апроксимації . При залишкова дисперсія дорівнює 0. Це означає, що при таких значеннях коефіцієнта кореляції випадкові величини X та Y зв’язані лінійною функціональною залежністю. Значна величина залишкової дисперсії є ознакою того, апроксимація (3.1) є невдалою. У цьому випадку слід користуватися апроксимацією поліномами другої , третьої, і вище, степені.

Аналогічно, можна одержати пряму середньоквадратичної кореляції X на Y:

.(3.6)