Реферат: Теоретическая физика: механика

Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.:

Заметим, что в выражении полного интеграла уже содержится три константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в действие только аддитивным образом и не играет существенной роли. Соответственно функция не должна содержать более констант. Полученная при интегрировании этой части действия константа будет выражаться через уже имеющиеся три. Поэтому вид функции определим, подставив действие в виде в уравнение Г.-Я. :

Интегрирование последнего уравнения приводит к функции:

Окончательно полный интеграл:

4. Отсюда на основании теоремы Якоби:

Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения.

Далее найдем, что компоненты – сохраняются:

В частности, при нулевых значениях движение происходит по прямой вдоль оси Oz.

Найдем также компоненту , как функцию координат:

№9.24 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и закон его движения в квадратуре.

Решение:

1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями.

1. Записать вид функции Гамильтона в полярных координатах:

Но поскольку длина стержня мат. маятника – величина постоянная, то , а функция Гамильтона примет вид:

2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона, который будет совпадать с представлением . Предлагается учащимся убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания.

2. Запишем уравнение Г.-Я.: