Реферат: Теория оболочек

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S₊ и S _- называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e _s,t = - (H_t,s /H_s ) e _t - d_st ÑH_t

Ñ = e _m (…),_m / H_m

Здесь H_{m -} параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r_{, i} ) ² ; Hi = ½ r_{, i} ½ .

Здесь r_{, I -} радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e _1,1 = (H_1,1 /H₁ ) e ₁ - (H_1,1 /H₁ ) e ₁ - (H_1,2/ H₂ ) e ₂ - (H_1,3 /H₃ ) e ₃

e _1,2 = (H_2,1 /H₁ ) e ₂ ; e _3,2 = (H_2,3 /H₃ ) e ₂ ; H_i (a₁ , a₂ , a₃ )

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e _1,1 ),₂ = (e _1,2 ),₁

₍ e _1,2 ),₁ = ( (H_2,1 /H₁ ) e ₂ ),₁ = (H_2,1/ H₁ ),₁ e ₂ + (H_2,1 /H₁ ) (H_1,2 /H₂ ) e ₁ ;

(e _1,1 ),₂ = - [ (H_1,2/ H₂ ) e ₂ + (H_1,3/ H₃ ) e ₃ ],₂ =

= - (H_1,2 /H₂ ),₂ e ₂ + (H_1,2 /H₂ ) ( (H_2,1 /H₁ ) e ₁ + (H_2,3 /H₃ ) e ₃ ) -

(H_1,3 /H₃ ),₂ e ₃ - (H_1,3 /H₃ ) (H_2,3 /H₃ ) e ₂

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим:

e ₁ : (H_2,1 H_1,2 ) / (H₁ H₂ ) - (H_2,1 H_1,2 ) / (H₁ H₂ ) º 0 - тождество

e ₂ : (H_2,1 /H₁ ),₁ + (H_1,2 /H₂ ),₂ + (H_1,3 × H_2,3 ) / = 0

e ₃ : (H_1,2 × H_2,3 ) / (H₂ H₃ ) - (H_1,3 /H₃ ),₂ = 0

Круговая перестановка индексов приводит к шести уравнениям совместности параметров Ляме.

Некоторые сведения из теории поверхностей

Рассмотрим произвольную гладкую поверхность и систему декартовых координат x, y, z.

Пусть r = r (a₁ , a₂ ) - радиус-вектор произвольной точки срединной поверхности оболочки. Рассмотрим производные r по переменным a₁ и a₂

r _,1 = r _1; r _,2 = r ₂

Введем в рассмотрение базис

r ₁ /½r ₁ ½= e ₁ r ₂ /½r ₂ ½= e ₂

и обозначим ½r _a ½ = A_a на срединной поверхности S (a₃ =0). В этом случае r _i = A_i e _i

Составим скалярные произведения: