Реферат: Теория оболочек

u = u_kj e _k e _j = e _t ´ (u_kj d_tk e _j ) = e _t ´ u_tj e _j =

= u_tj '_tjk e _k = w_tk e _k = w _t, где w_tk = u_tj '_tjk

'_tjk - символы Леви-Чивита, которые определяются:

СЛЧ = 0, если среди r,s,t есть одинаковые

=+1, если индексы r,s,t - различные ® 123, 231, 312

= -1, если этот порядок нарушается

'_rst = e _r × (e _s ´e _t )

w _tk характеризует поворот орта tотносительно орта k.

Введем тензор второго ранга = w_tk e _t e _k - тензор поворота

w₁₁ = 0; w₁₂ = u_1j '_1j2 = - u₁₃ ; w₁₃ = u_1j '_1j3 = u₁₂

w₂₁ = u_2j '_2j1 = u₂₃ ; w₂₂ = 0; w₂₃ = - u₂₁

w₃₁ = u_3j '_3j1 = - u₃₂ ; w₃₂ = u_3j '_3j2 = u₃₁ ;

w₃₃ = 0;

Определим компоненты градиента вектора перемещений в специальной системе координат:

(= e _{s (} …),_s / H_s ; H_i = A_{i (} 1 + a₃ k_i ) i = 1,2 H₃ = 1

“o” - в дальнейшем опускаем

Ñu = e _s (u₁ e ₁ + u₂ e ₂ + u₃ e ₃ ),_s / H_s = e _{1 (} u_1,1/ H₁ ) e ₁ + e _{1 (} e _1,1 /H₁ ) u₁ + e _{2 (} u_1,2/ H₂ ) e ₁ +

+ e _{2 (} e _1,2 /H_{2 )} u₁ + e _{3 (} u_1,3/ H₃ ) e ₁ + e _{3 (} e _1,3 /H₃ ) u₁ + e _{1 (} u_2,1/ H₁ ) e ₂ + e _{1 (} e _2,1 /H₁ ) u₂ +

+ e _{2 (} u_2,2/ H₂ ) e ₂ + e _{2 (} e _2,2 /H₂ ) u₂ + e _{3 (} u_2,3/ H₃ ) e ₂ + e _{3 (} e _2,3 /H₃ ) u₂ + e _{1 (} u_3,1/ H₁ ) e ₃ +

+ e _{1 (} e _3,1 /H₁ ) u₃ + e _{2 (} u_3,2/ H₂ ) e ₃ + e _{2 (} e _3,2 /H₂ ) u₃ + e _{3 (} u_3,3/ H₃ ) e ₃

После подстановки выражений e_{k , j} (j,k = 1,2,3)

H_i = A_i (1 + a₃ k_i ) i = 1,2; H₃ = 1

h/2 £a₃ £h/2; учитывая, что h/R_i " 1, т.е. оболочка тонкая, получим:

u₁₁ = u_1,1 /A₁ + (A_1,2 / (A₁ A₂ )) u₂ + u₃ k₁

u₁₂ = u_2,1 /A₁ - (A_1,2 / (A₁ A₂ )) u₁

u₁₃ = u_3,1 /A₁ - u₁ k₁

u₂₁ = u_1,2 /A₂ - (A_2,1 / (A₁ A₂ )) u₂

u₂₂ = u_2,2 /A₂ + (A_2,1 / (A₁ A₂ )) u₁ + u₃ k₂

u₂₃ = u_3,2 /A₂ - u₂ k₂