Реферат: Теория оболочек

Рассмотрим срединную поверхность a₃ = 0

(A_2,1 /A₁ ),₁ + (A_1,2 /A₂ ),₂ + k₁ A₁ k₂ A₂ = 0 –

соотношение Гаусса.

A_1,2 k₂ - (A₁ k₁ ),₂ = 0, (A₁ k₁ ),₂ = A_1,2 k₂

при замене индексов получаем два соотношения Кодацци

(A₂ k₂ ),₁ = A_2,1 k₁

Вектор перемещений

u = R - r = u₁ e ₁ + u₂ e ₂ + u₃ e ₃

R - текущая конфигурация

r - отсчетная конфигурация

u _{, i} = (u_k e _k ), i = (u_k ), ie _k + u_k (e _k ), i

Дифференцирование ортов в специальной системе координат

e _1,1 = - e ₂ (H_1,2 /H₂ ) - e ₃ (H_1,3 /H₃ ) = - e ₂ 1/ (A₂ (1 + a₃ k₂ )) × [A₁ (1 + a₃ k₁ )],₂ -

e ₃ × [A₁ (1 + a₃ k₁ )],₃ = - e ₂ 1/ (A₂ (1 + a₃ k₂ )) [A_1,2 + a₃ (A₁ k₁ ),₂ ] - e ₃ A₁ k₁ =

= - e _{2 (} A_1,2 (1 + a₃ k₂ )) / (A₂ (1 + a₃ k₂ )) - e ₃ A₁ k₁ =

= - e ₂ (A_1,2/ A₂ ) - e ₃ A₁ k₁ ;

e _1,2 = e ₂ (H_2,1 /H₁ ) = e ₂ 1/ (A₁ (1 + a₃ k₁ )) [A_2,1 + a₃ (A₂ k₂ ),₁ ] =

= e _{2 (} A_2,1 (1 + a₃ k₁ )) / (A₁ (1 + a₃ k₁ )) = e ₂ (A_2,1/ A₁ );

e _1,3 = e _{3 (} H_3,1 /H₁ ) = 0 (т.к H₃ = 1)

e _2,1 = e ₁ (A_1,2/ A₂ ) - получаем из e _1,2 заменой (1«2)

e _2,3 = e _{3 (} H_3,2 /H₂ ) = 0 e _3,2 = e _{2 (} H_2,3 /H₃ ) = e ₂ A₂ k₂

e _3,1 = e _{1 (} H_1,3 /H₃ ) = e ₁ A₁ k₁ e _3,3 = 0 (H₃ = 1)

Удлинения, сдвиги и повороты элемента сплошной среды

а) Рассмотрим удлинения

dr - в отсчетной конфигурации, dR - в текущей конфигурации

dR = dr × ; R ( = e _k (…),_k / H_k )

R = r + u

(r + u ) = r +u = u

Рассмотрим относительное удлинение

(½dR ½-½dr ½) /½dr ½ = e; ½dR ½ = dS; ½dr ½ = ds;