Реферат: Теория оболочек

=dr × × × dr - dr × × dr = dr ( × - × ) × dr =

= 2dr × × dr ; = 0,5 ( × - ) - тензор деформаций Грина

= 0,5 [ ( +u ) ( +u ^T ) - ] = 0,5 (u +u ^T +u × u ^T )

dr = e ds®e = dr /½dr ½- единичный вектор

dS² - ds² = 2ds² e ×e^G ×e

( dS² - ds² ) /ds² = (dS/ds) ² - 1 = 2e ×e^G ×e

dS/ds = (1 + 2e ×e^G ×e ) ^1/2 ;

e_e = (dS - ds) /ds = (1 + 2e ×e^G ×e ) ^1/2 - 1 - удлинение

Пусть e = e ₁ ; = (1+2) ^1/2 - 1 = 1 + + … - 1 = »e ₁₁

e = 0,5 (Ñu +Ñu ^T ) - линейный тензор деформаций Коши.

Деформации сдвига

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m ₁ и m ₂

dr ₁ = m ₁ ds₁ ; dr ₂ = m ₂ ds₂ ;

ds_i = ½dr _i ½- длины элементов волокон до деформаций

Деформации сдвига характеризуется изменением угла q₁₂

cos q₁₂ - cos Q₁₂ = (dr ₁ × dr ₂ ) / (ds₁ × ds₂ ) - (dR ₁ × dR ₂ ) / (dS₁ × dS₂ ) =

= m ₁ ×m ₂ - [ (dr ₁ ×× dr ₂ ) / ds₁ (1+e_m1 ) ds₂ (1+e_m2 )] =

= m ₁ ×m ₂ - m ₁ ××m ₂ = m ₁ × ( - ) ×m ₂ = - 2m ₁ ××m ₂ ;

Пусть m ₁ = e ₁ ; m ₂ = e ₂ ; m ₁ ×m ₂ = 0

cos q₁₂ = 0 0 - cos Q₁₂ = -2

cos Q₁₂ = cos (p/2 - g₁₂ ) = 2 = sin g₁₂ = g₁₂

g₁₂ - угол сдвига; g₁₂ »e₁₂ , если g₁₂ - небольшой

Повороты

Рассмотрим материальное волокно dr = e ds

w = (dr ´dR ) / (½dr ½×½dR ½) - вектор поворота материального волокна

½w ½= sinj

w - нормаль, относительно которой происходит поворот

w = (dr ´ (dr × )) / (ds ×ds (1 + e_e )) = e ´ (e × ) =

= e ´ [e × ( u )] = e ´e + e ´ (e × u ) = e ´ (e × u )

Пусть e = e _t - базисные вектора t = 1,2,3

w _t - вектор поворота материального волокна t