Реферат: Теория оболочек

= 0,5 (Ñu + Ñu ^T ) Þ e_ii = u_ii

Для удлинений имеем:

e₁₁ = u₁₁ ; e₂₂ = u₂₂ ; e₃₃ = u₃₃ ;

Для деформаций сдвига соответственно:

e₁₂ = 0,5 (u₁₂ + u₂₁ ) = 0,5 [ (A₂ /A₁ ) (u₂ /A₂ ),₁ + (A₁ /A₂ ) (u₁ /A₁ ),₂ ]

e₁₃ = 0,5 (u₁₃ + u₃₁ ) = 0,5 (u_3,1 /A₁ + u_1,3 - u₁ k₁ )

e₂₃ = 0,5 (u₂₃ + u₃₂ ) = 0,5 (u_3,2 /A₂ + u_2,3 - u₂ k₂ )

Углы поворота определяются через перемещения следующим образом: w_ii = 0

w₁₂ = - u₁₃ = - u_3,1 /A₁ + u₁ k₁

w₂₁ = u₂₃ = u_3,2 /A₂ - u₂ k₂ ; w₁₃ = u₁₂

w₂₃ = - u₂₁ w₃₁ = - u₃₂ = - u_2,3 ; w₃₂ = u₃₁ = u_1,3 .

Теория малых удлинений и малых квадратов углов поворота

Рассмотрим тензор нелинейных деформаций Грина:

= 0,5 (Ñu + Ñu ^T + Ñu ×Ñu ^T ) = + 0,5Ñu ×Ñu ^T

Его нелинейная часть определяется следующим образом:

Ñu ×Ñu ^T = u_mn e _m ×e _n ×u_ij e _j e _i = u_mn u_ij d_nj e _m ×e _i =

= u_mn u_in e _m e _i; Þe_mi = e_mi + 0,5u_mn u_in

Таким образом, компоненты тензора деформаций можно записать в виде:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ( )

e₁₂ = e₁₂ + 0,5 (u₁₁ u₂₁ + u₁₂ u₂₂ + u₁₃ u₂₃ )

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (u₁₁ u₃₁ + u₁₂ u₃₂ + u₁₃ u₃₃ )

e₂₁ = e₂₁ + 0,5 (u₂₁ u₁₁ + u₂₂ u₁₂ + u₂₃ u₁₃ )

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ( )

e₃₁ = e₃₁ + 0,5 (u₃₁ u₁₁ + u₃₂ u₁₂ + u₃₃ u₁₃ )

e₃₂ = e₃₂ + 0,5 (u₃₁ u₂₁ + u₃₂ u₂₂ + u₃₃ u₂₃ )

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ( )

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (u₂₁ u₃₁ + u₂₂ u₃₂ + u₂₃ u₃₃ )

или, подставляя выражения для углов поворота:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5 ( )

e₂₂ = e₂₂ + 0,5 ( )