Реферат: Теория оболочек

e₁₂ = e₁₂ + 0,5 (-e₁₁ w₂₃ + e₂₂ w₁₃ - w₁₂ w₂₁ )

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (e₁₁ w₃₂ - w₁₃ w₃₁ - w₁₂ w₃₃ )

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (- w₃₂ w₂₃ -e₂₂ w₃₁ + e₃₃ w₂₁ )

(u₂₁ = -w₂₃ ; u₂₃ = w₂₁ ; u₃₁ = w₃₂ ; u₁₂ = w₁₃ ; u₃₂ = -w₃₁ ;

u₃₁ = w₃₂ ; u₁₁ = e₁₁ ; u₂₂ = e₂₂ ; u₃₃ = e₃₃ )

Введем следующие предположения:

e_ii << 1 - деформации растяжения -сжатия малы

предполагаем, что величины поворотов w₁₃ << 1; w₂₃ << 1, а в отношении остальных величин можно принять, что << 1

w_ij - угол поворота i-го орта относительно j-го орта. Таким образом из соотношений (…) следует:

e₁₁ = e₁₁ + 0,5

e₂₂ = e₂₂ + 0,5

e₃₃ = e₃₃ + 0,5 ( )

e₁₂ = e₁₂ - 0,5w₁₂ w₂₁

e₁₃ = e₁₃ + 0,5 (e₁₁ w₃₂ - w₁₃ w₃₁ - w₁₂ w₃₃ )

e₂₃ = e₂₃ + 0,5 (- w₃₂ w₂₃ -e₂₂ w₃₁ + e₃₃ w₂₁ )

Гипотезы Кирхгофа-Лява

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, основаны на геометрических и статических соображениях. Однако их недостаточно для полного построения теории оболочек. При выборе соотношений, связывающих компоненты деформаций с перемещениями и усилия и моменты с компонентами деформаций приходится принимать некоторые упрощающие подходы. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмерное упругое тело. Решение соответствующих уравнений теории упругости разыскиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням точки оболочки от срединной поверхности. Этот подход, предложенный в теории пластин А. Коши, позволяет при удержании достаточного числа членов (при условии сходимости рядов) получить решение близкое к точному. Этот метод весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по другому пути. Во втором подходе предложенном также при построении теории пластин Г. Кирхгоффом принимаются гипотезы, аналогичные тем, которые используются в теории балок:

прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна недеформированной оболочки остаются прямолинейными и нормальными к деформированной срединной поверхности и не меняют своей длины;

нормальные напряжения на площадках, параллельных площадкам срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями.

Первая гипотеза имеет геометрический характер, вторая - статический. Теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгоффа, была построена, в основном А. Лявом, поэтому в теории оболочек гипотезы 1 и 2 принято называть гипотезами Кирхгоффа-Лява. Иногда их называют гипотезой жесткой (недеформированной) нормали или гипотезой сохранения нормали.

Гипотеза 1 используется только для записи зависимостей деформации оболочки от перемещений, гипотеза 2 - для записи зависимостей деформаций от напряжений. В первом случае предполагается, что в нормальных сечениях отсутствуют сдвиги e₁₃ = e₂₃ = 0, и поперечные деформации e₃₃ = 0. Во втором случае допускается, что нормальное напряжение s₃₃ незначительно влияет на деформации e₁₁ и e_22, так что эти деформации выражаются через нормальные напряжения s₁₁ , s₂₂ и s₃₃ << {s₁₁ , s₁₂ , s₂₂ }. Таким образом гипотезу 1 нельзя понимать в буквальном смысле, поскольку в действительности в оболочках имеют место поперечные сдвиги - поперечные или как их иногда называют перерезывающие силы не равны нулю.

Гипотезы Кирхгоффа-Лява просты и физичны. Они позволяют свести трехмерную задачу определения напряженно-деформированного состояния оболочки к двумерной. Исследование поведения элемента оболочки в рамках этих гипотез сводится к исследованию поведения ее срединной поверхности. Следует отметить, что теория, построенная на гипотезах Кирхгоффа-Лява, является существенно приближенной. Принятие этих гипотез вносит погрешность порядка h/R, где h - толщина оболочки, R- минимальный линейный размер срединной поверхности.

Рассмотрим элемент тонкой оболочки со срединной поверхностью S. До деформирования в исходной конфигурации радиус-вектор произвольной точки оболочки, не лежащей на срединной поверхности может быть представлен в виде:

r (a₁ , a₂ , a₃ ) = r (a₁ , a₂ ) + a₃ n

r (a₁ , a₂ ) - радиус-вектор проекции точки на S до деформации.

После деформирования (в актуальной конфигурации)

R (a₁ , a₂ , a₃ ) = P (a₁ , a₂ ) + a₃ N

P (a₁ , a₂ ) - радиус-вектор проекции точки на S после деформации

Тогда вектор перемещений запишется в виде:

u = R - r = P - r + a₃ (N - n ) = = u ° (a₁ , a₂ ) + a₃ u ¹ (a₁ , a₂ )