Реферат: Теория оболочек
G12 = G21 = 0 для ортогональной системы координат
При этом образуется тензор второго ранга 
= Ga b r a r b , который называется первым фундаментальным тензором поверхности.
ds2 = (dr ) 2 = (r ,1 da1 + r ,2 da2 ) 2 =
= (r 1 da1 + r 2 da2 ) 2 = G11 d
+ 2G12 da1 da2 +C22 d
=
= 
d + 
d;
Коэффициенты А1 и А2 являются коэффициентами первой квадратичной формы и называются параметрами Ляме. Первая квадратичная форма определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности и определяет метрику поверхности. Введем в рассмотрение единичный вектор внешней нормали к поверхности N. Запишем очевидное соотношение N ×N =1 и продифференцируем его по a1 , a2 :
2N ×N , i = 0; очевидно, вектор N , I лежит в касательной плоскости к поверхности Sи может быть представлен в виде разложения N , i = Bij r j.
При этом вводится в рассмотрение тензор второго ранга
= Ba b ×r a ×r b,
являющийся вторым фундаментальным тензором поверхности, а его компоненты Ba b - коэффициентами второй квадратичной формы поверхности, определяющей внешнюю геометрию поверхности.
В главных осях тензор может быть записан в виде:
= 
= k1 e 1 e 1 + k2 e 2 e 2
k1 = 1/R1 ; k2 = 1/R2 –
главные кривизны
В дальнейшем координатные линии выбираются вдоль главных осей кривизны. Пусть в дальнейшем
I1 = k1 + k2 - первый инвариант (средняя кривизна)
I2 = k1 ×k2 - второй инвариант (гауссова кривизна)
Специальная система координат в теории оболочек
N = e 1 ´e 2
Для любой точки тела оболочки:
r (a1 ,a2 ,a3 ) = r (a1 ,a2 ) + a3 N
= (r , i ) 2 = (r , i + (a3 N ), i) 2 = (r i + a3 Bij r j ) 2 (B12 = B21 =0)
= (r 1 + a3 N ,1 ) 2 = (r1 + a3 × B11 r 1 ) 2 = (1 + a3 k1 ) 2
H1 = A1 (1 + a3 k1 ); H2 = A2 (1 + a3 k2 ); (½ri ½= Ai )
= N ×N = 1 ®H3 = 1 –
параметры Ляме в специальной системе координат
Соотношения Гаусса и Кодацци
Уравнения совместности параметров Ляме:
(H2,1 /H1 ),1 + (H1,2 /H2 ),2 + (H1,3 × H2,3 ) /= 0
(H1,2 × H2,3 ) / (H2 H3 ) - (H1,3 /H3 ),2 = 0
В специальной системе координат