Реферат: Теория оболочек

В координатной форме соответственно:

u₁ = (a₁ , a₂ ) + a₃ (a₁ , a₂ )

u₂ = (a₁ , a₂ ) + a₃ (a₁ , a₂ )

u₃ = (a₁ , a₂ )

При этом компоненты вектора перемещений u₁ и u₂ линейным образом зависят от координаты a_3, а функция поперечногопрогиба постоянна по толщине в силу недеформируемости нормали.

Рассмотрим детальнее геометрическую гипотезу Кирхгоффа-Лява. Тот факт, что нормаль к срединной поверхности S в процессе деформирования остается нормалью приводит к соотношениям:

e₁₃ = 0, e₂₃ = 0

Таким образом

u_3,1 /A₁ + u_1,3 - u₁ k₁ = 0

/A₁ + - ( + a₃ ) k₁ = 0

(1 - a₃ k₁ ) - k₁ + /A₁ = 0

считая оболочку достаточно тонкой, пренебрегаем членом a₃ k₁ << 1

(a₁ , a₂ ) = -/A₁ + k₁

(a₁ , a₂ ) = -/A₂ + k₂

w₁₂ = - u_3,1 /A₁ + u₁ k₁ = -/A₁ + k₁ + a₃ k₁ =

= - /A₁ + k₁ + a₃ k₁ (-/A₁ + k₁ ) =

= (-/A₁ + k₁ ) (1 + a₃ k₁ ) = (1 + a₃ k₁ ) »=

= -/A₁ + k₁ = q₁ (a₁ , a₂ ) - угол поворота на поверхности S.

Аналогично:

w₂₁ = u_3,2 /A₂ - u₂ k₂ »= /A₂ - k₂ = - = - q₂ (a₁ , a₂ )

Обозначим: = u; = v; = w тогда можно записать:

u₁ = u + a₃ q₁ , u₂ = v + a₃ q₂ , u₃ = w

Введем в рассмотрение плоский вектор перемещений и поворотов:

u = ue ₁ + ve ₂

q = q₁ e ₁ + q₂ e ₂

Тензор кривизны в главных осях можно представить в виде:

= k₁ e ₁ e ₁ + k₂ e ₂ e ₂ ; k_i = 1/R_i

Окончательно кинематические соотношения, соответствующие теории Кирхгоффа-Лява запишутся в виде:

q = -Ñw + ×u Ñ = e _s (1/A_s ) (¶/¶s) (s = 1,2)