Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

Определение 1

Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.

Если рассматриваемая величина

а) скаляр , то поле называется скалярным, например

– поле плотности

б) вектор , то поле называется векторным

– поле скоростей

в) тензор , то поле называется тензорным

– поле напряжений.

Определение 2

Если значения рассматриваемых величин не изменяются во времени , то поле называется стационарным (установившимся), если же они изменяются во времени , то поле называется нестационарным.

Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Скалярное поле

Характеристики скалярного поля

1) Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня (см. рис.)

2) Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных

(1)

Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:

, (2)

где .

3) Производная по направлению (см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление

(3)

Частный случай: производная по нормали :

(4)

4) Частные и полные производные по времени

Рассмотрим нестационарное скалярное поле:

Скорость изменения r в фиксированной точке равна и называется частной производной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--