Реферат: Випадкові події

Розв’язування. У задачі йдеться про сполучення із 10 елементів по 2 елементи. За формулою (3)

.

Перестановками називаються упорядковані множини, які відрізняються між собою лише порядком своїх елементів. Число перестановок

.(4)

Приклад 4. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у число лише один раз?

Розв’язування.

Розміщеннями називають m-елементні підмножини множини з n різних елементів, які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень

.(5)

Приклад 5. Скільки можна утворити сигналів із 6 прапорців різного кольору, якщо скористатись для одного сигналу 2 прапорцями?

Розв’язування. Кожний сигнал відрізняється від інших як набором кольорів, так і їх розташуванням. Тому необхідно підрахувати число розміщень із 6 елементів по 2 елементи. За формулою (5).

Числа розміщень, сполучень та перестановок зв’язані співвідношенням

.(6)

Приклад 6. В партії з n елементів є k відмічених. Знайти ймовірність того, що з випадково вибраних m елементів відмічених буде x елементів (подія А).

Розв’язування. Загальна кількість наслідків дорівнює числу сполучень з n елементів по m елементів:

.

Наслідки, що сприяють події А, відповідають сполученням з x вибраних відмічених елементів і m-x вибраних невідмічених елементів. Відмічені елементи можна вибрати способами, невідмічені – способами. За правилом добутку число наслідків, що сприяють події А, дорівнює . За класичним означенням ймовірність події А дорівнює

(7)

При

(за визначенням),

,.

Класичне означення ймовірностей виникло на початку розвитку теорії ймовірностей у зв’язку з вивченням шансів на виграш в азартних іграх. В той самий час класичне означення неможливо розглядати як строге означення ймовірностей. Воно використовує поняття рівноможливості, яке, по суті, означає однакову ймовірність. Виходить, що ймовірність визначається через ймовірність.

Класичне означення ймовірностей не має сенсу у випадках, коли наслідки не є рівноможливими, або коли їх нескінченна кількість.

4. Геометричні ймовірності

Поняття геометричних ймовірностей – ймовірностей попадання точки в область (відрізок, частину площини і т.д.) – використовують у випадку стохастичних експериментів із нескінченною кількістю рівноможливих та несумісних наслідків.

Нехай відрізок, l – довжина відрізку , L – довжина відрізку . На відрізок навмання кидається точка. Це означає виконання таких умов:

– кинута точка може опинитися в будь-якій точці відрізку ;

– ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна його довжині і не залежить від його розташування на відрізку .

За таких умов ймовірність попадання точки на відрізок дорівнює відношенню довжин відрізків: