Реферат: Випадкові події

Розв’язування. Заумовою задачі . За формулою (1)

.

Статистичне означення ймовірності дозволяє експериментально оцінити правомірність класичного означення ймовірностей та геометричних ймовірностей в окремому випадку.

6. Аксіоматичне означення ймовірностей

Теорія ймовірностей стала логічно завершеним розділом математики після того, як в її основу була покладена система аксіом. Таку систему аксіом легко описати мовою теорії множин.

Можливі наслідки експерименту S утворюють множину елементарних подій , яка є універсумом. Елементарні події не сумісні. Це означає, що настання однієї з цих подій виключає настання будь-якої іншої. Випадкова подія А ототожнюється з підмножиною універсуму U, яка містить елементарні події, що сприяють події А. Неможлива подія ототожнююється з порожньою множиною, достовірна з універсумом U, а протилежна подія з доповненням множини А до універсуму. Протилежна подія до події А полягає в тому, що подія А не настає.

Множина підмножин універсуму U називається полем подій і позначається F. Елементами цієї множини є можливі події, які можуть настати у результаті стохастичного експерименту. Якщо множина U має n елементів, то поле подій F складається з подій. Нескінченна множина F називається борелевським полем (або s-алгеброю). Відносно операцій об’єднання, перерізу і доповнення множина подій F утворює булеву алгебру.

Ототожнення подій з множинами дозволяють розв’язування задач теорії ймовірностей звести до розв’язування теоретико-множинних задач.

Теоретико-множинні операції відносно подій мають такий зміст:

1) - настає або подія А, або подія В, у тому числі і одночасно;

2) - одночасно настають обидві події А і В;

3) - настає або подія А, або подія В, але не одночасно;

4) - подія А настає, а подія В не настає;

5) - якщо подія А настає, то обов’язково настає і подія В.

Ймовірність подій визначається за Колмогоровим сукупністю аксіом.

1 аксіома. Кожній події ставиться у відповідність невід’ємне дійсне число - ймовірність події.

2 аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:.

3 аксіома. Якщо А і В несумісні (відповідні множини А і В не перетинаються), то .

Ця система аксіом несуперечлива і є основою елементарної теорії ймовірностей, яка вивчає скінченні множини подій. При розгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однією аксіомою:

4 аксіома - аксіома неперервності. Для послідовності подій такої, що та (порожній множині), має місце співвідношення

Непорожня множина U елементарних подій, булева алгебра подій F і множина ймовірністей Р, яка визначена на F, утворюють у сукупності ймовірнісний простір, який позначається як трійка .

При аксіоматичному означенні не використовується поняття рівноможливості наслідків, що характерно для класичного означення ймовірностей. Аксіоматична теорія ймовірностей не вирішує питання про конкретні чисельні значення ймовірностей елементарних подій. Розв’язуванням цієї задачі з ймовірнісних позицій займається математична статистика.

Приклад 1. При киданні грального кубика множина елементарних подій ,- випало і очок. Множина F подій складається з елементів, серед яких порожня множина , основна множина U, одноелементні множини , а також множини, які утворені сполученням із 6елементів по 2, 3, 4, 5 елементів. У допущенні симетрії грального кубика необхідно приписати однакові ймовірності елементарним подіям:

.

Якщо кубик не симетричний, то ймовірностям необхідно приписати різні значення. Нехай методами математичної статистики встановили, що

,, ,,,.

Тоді ймовірність події - випаде не більше двох очок - для симетричного кубика дорівнює , а для несиметричного -. Ймовірність випадання непарного числа очок (подія ) для симетричного кубика дорівнює , для несиметричного .

7.Основні співвідношення та теореми теорії ймовірностей

З аксіом Колмогорова можна одержати всі співвідношення елементарної теорії ймовірностей.

Рівність нормування ймовірностей:

(1)