Реферат: Випадкові події

Розв’язування. Нехай події – навмання вибрана деталь належить до першої, другої, третьої партій, відповідно. Ці події утворюють повну систему подій. Тому

.

З умови задачі . Звідси . Нехай подія В – вибрана зі складу деталь є бракованою. Умовні ймовірності події В за умовою задачі

, , .

За формулою повної ймовірності (1)

.

10. Формули Бейєса

Нехай – повна система подій. Нехай В – подія, яка може настати при настанні будь-якої з цих подій, вже настала. Тоді ймовірності подій із повної системи подій можна обчислити за формулами Бейєса

(1)

Доведення. Операція перерізу множин комутативна і тому для відповідних подій справджується рівність

.

Це співвідношення також справедливе для події із повної групи подій :

.

Звідси

.

Останню рівність з врахованням формули повної імовірності (1.9.1) можна переписати у вигляді

,

що і треба було довести.

Умовні ймовірності задовільняють рівності нормування ймовірностей

.

Часто події А_i називаються гіпотезами, їх ймовірності апріорними ймовірностями, умовні імовірностіапостеріорними ймовірностями, а самі формули Бейєса – теоремою гіпотез.

Приклад 1. Деталі, які виготовлені в цеху заводу, потрапляють для перевірки до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь потрапить до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0.4. Ймовірність того, що деталь буде визнана стандартною першим контролером дорівнює 0.94, другим – 0.98. Вибрана деталь при перевірці виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер.

Розв’язування. Нехай В – вибрана деталь виявилася стандартною. Можна зробити два припущення:

1) деталь перевірив перший контролер (гіпотеза );

2) деталь перевірив другий контролер (гіпотеза ).

Ймовірність того, що деталь перевірив перший контролер, обчислюється за формулою Бейєса

.

За умовою задачі:

(ймовірність того, що деталь потрапляє до першого контролера);