Реферат: Вычислительные методы алгебры (лекции)
;
– расстояние между x и y.
1-3 – аксиомы метрики.
Говорят, что множество элементов - метрическое пространство сходится к
, если
,
.
Последовательность точек называется сходящейся в себе (фундаментальной), если
.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное верно не всегда.
Определение. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным.
Пример. .
Зададим различными способами расстояния:
-
кубическая метрика, m-метрика
;
-
сферическая метрика,
метрика
;
-
октаэдрическая, s-метрика
.
Для всех выполняются аксиомы метрики и в каждой – полное метрическое пространство.
Пусть X,Y – метрические пространства.
называется оператором, заданным в X со значением в Y.
Если X=Y, то – оператор, отображающий Х в себя (преобразование).
Если , то
– неподвижная точка при отображении
.
Определение. Говорят, что отображение называется сжимающим (сжатием), если
.
§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.
Пусть требуется решить уравнение (1), где
– непрерывная функция.
Число называется корнем уравнения (1), если
.
Если функция определена и непрерывна на
и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на
существует хотя бы один корень.
Отделить корень уравнения значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Для отделения корней можно применить следующий признак: