Реферат: Вычислительные методы алгебры (лекции)
Достаточным условием монотонности функции на отрезке является сохранение знака производной.
Отделить корень можно и графически: нарисовать график и указать точки пересечения с осью Ох.
Совершенный метод отделения корней – метод Штурма.
Дихотомия (метод деления отрезка пополам).
-
Пусть
существует хотя бы один корень на 
;
Рассмотрим и 
. Из этих двух выберем тот, на концах которого функция 
принимает значения разных знаков и поделим его пополам и т.д.
Если нужно найти корень с точностью до 
, то мы продолжаем делить отрезок до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 
, тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.
Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.
Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.
Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.
§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений).
Пусть R – полное метрическое пространство. Если 
сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.
, где 
- произвольный.
План доказательства.
-
– фундаментальная
(*)
q – коэффициент сжатия
.
-
Т.к. R – полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.
– сходится, 
, причем 
, т.е. 
– неподвижная точка.
-
– единственна.
ЧТД.
- последовательность приближения к решению уравнения 
Метод – метод простой итерации.
Если в (*) 
зафиксировать, а 
, то
– оценка погрешности, оценка скорости сходимости.