Реферат: Вычислительные методы алгебры (лекции)

, скорость сходимости метода Ньютона квадратичная, .

Потребуем, чтобы начальное условие выбиралось из условия

(7)

Тогда из (6) получим

- оценка погрешности.

Метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости. Это означает, что при переходе от одной итерации к другой количество верных знаков удваивается в последующем приближении.

Достоинство: высокая скорость сходимости, легко программируется на ЭВМ.

Недостатки: узкая область сходимости.

Если будем решать операторное уравнение , то на каждом шаге необходимо находить значение обратного оператора .

Геометрический смысл метода Ньютона.

П
усть требуется решить уравнение и единственный корень этого уравнения находится на .

В точке проведем касательную к графику функции , уравнение касательной: .

Если , то

– первое приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

Возьмем и проведем касательную в этой точке. Получим .

Если , то

– второе приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

И так далее. Отсюда метод Ньютона называют методом касательных.

§14. Метод хорд. Метод секущих.

По прежнему решаем уравнение (1), где , на и .

Т.е. на (1) имеет только один корень.

Уравнение (1) запишем в виде , где . Возьмем в качестве , где удовлетворяет условию , .

Тогда итерационный метод запишется следующим образом:

– метод хорд.

Докажем, что метод хорд сходится. Для этого необходимо показать, что .