Шпаргалка: Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения

34

55

Основные свойства функции

1) Область определения функции и область значений функции . Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции . Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции . Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции . Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

График функции - множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x , а ординаты - соответствующими значениями функции y .

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b . Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах² + bх + с . Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0) или у - х (а < 0).

Логарифмическая функция y = log_a x (a > 0)

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой .

График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.

Область определения функции и область значений функции . Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции . Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции . Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Периодические функции. Правила нахождения основного периода функции.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрические функции являются периодическими. Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T ₁ и T ₂ является функция с периодом НОК (T ₁ ,T ₂ ). Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией. Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

Построение графиков степенных функций.

Степенная функция. Это функция: y = axⁿ , где a, n - постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т. e. её график - прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

.

Обратная функция

Обра́тная фу́нкция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех

Предел функции в точке. Основные свойства предела.

Корень n-ой степени и его свойства.

Корнем n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства корней: