Шпаргалка: Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения

Степень с произвольным действительным показателем и его свойства.

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

.

.

, .

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

.

.

.

.

.

.

Степенная функции, её свойства и графики

Степенная функция комплексного переменного f (z ) = zⁿ с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел. степенная функция с целочисленным показателем является аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения f (z ) = z . Согласно теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного аналитического продолжения. Пользуясь таким определением, можно сразу сделать вывод о том, что степенная функция комплексного переменного обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

Показательная функция, её свойства и графики

Показательная функция - математическая функция .

В вещественном случае основание степени - некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

В самом общем виде - u^v , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Свойства ; ; .

Показательные уравнения.

Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и a^х =a^y .

Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a^х <a^y либо a^х >a^y . Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.

Также доказывается теорема и для случая, когда 0<a<1. Замечание. Из равенства a^х =a^y не обязательно следует что x=у. Из равенства 1^х =1^y также не обязательно вытекает равенство x=у. Самым простым показательным уравнением является уравнения вида a^х =a^y , где a>0 и a≠1.

Показательные неравенства

Неравенства вида (или меньше) при а (х) >0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а (х) < 1 при сравнении f (x) и g (x) знак неравенства меняется, а при а (х) > 1 - сохраняется. Самый сложный случай при а (х) < 0 . Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f (x) и g (x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию. Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а (х) = 0 или а (х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Логарифмы и их свойства