Шпаргалка: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

39. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

П1 и П2 две заданные плоскости

П1: A1x+B1y+C1Z+D1=0

П2: A2x+B2y+C2Z+D2=0

A1² +B1² +C1² >0, A2² +B2² +C2² >0

углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов = <j между нормальными в-рами: n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2} этих плоскостей.

Отсюда вытекает:

П1 || П2 Û n1 || n2 Û n1=ln2 Û A1=lА2, B1=lB2, C1=lC2

условие параллельности плоскостей

П1 ^ П2 Ûn1^n2 Ûn1×n2=0 ÛA1A2+B1B2 + C1C2=0 условие перпендикулярности плоскостей.

40. параметрические уравнения прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве будет однозначно определено, если задать т. М0 на прямой (при помощи радиус-в-ра r0, относит некоторого фиксированного О) и направляющего в-ра S (S¹ 0), которому прямая параллельна.

Перемещение т. М прямой, соотв ее радиус в-ру ОМ=r ОМ=ОМ0+М0М (1)

М0М||S, M0M=t×S

r=r0+t×S (2)

Введем в пространство прямоугольную декартову систему координат, поместив начало координат в т. О.

т. М0 имеет коорд. (x0,y0,z0); т. M (x,y,z), напр. в-р S={m,n,k}, тогда ур-е записанное в коорд форме:

(3)

Ур-я (2) и (3) наз. параметрическими уравнениями прямой в пространстве в векторной и координатной форме соответственно. Числа m,n,k наз. направляющими коэффициентами этой прямой.

41. Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение (2), озн. коллинеарность в-ров r-r0 и S может быть записана и в терминах пропорциональности в-ров.

r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}; S={m,n,k}

(4)

Ур-е (4) наз. каноническим ур-ем прямой в пространстве, в нём x0,y0,z0 – коорд. Т. М., лежащей на прямой, а m,n,k – координаты направляющего в-ра прямой.

Система ур-й (4) определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей.

Также как и для канонического уравнения на плоскости ур-е (4) говорит лишь о пропорциональности координат в-ров: r-r0 и S. Если например m=0, то ур-е переходит в ур-е x-x0=0,

если m=0 и n=0, то у р-е будет: