Шпаргалка: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Еси на до найтить урювнение примой проход. через т. М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2)

Для решения в каноническом виде:

Надо знать коорд одной из точек нах на прямой и направляющий в-р. За т. на прямой можно принять любую , например, М1(x1,y1,z1), за направляющий вектор прямой –

вектор М1М2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1}

Уравнение искомой прямой следует из ур-я (4):

(5)

43. Общее уравнение прямой в пространстве. переход к каноническим уравнениям

Всякие две непараллельные между собой и не совпадающие плоскости, определяют прямую, как линию их пересечения.

Пусть ур-я этих плоскостей в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ:

П1: A1x+B1y+C1z+D1=0

П2:A2x+B2y+C2z+D2=0

рассматриваемые совместно:

(6)

Эти уравнения наз. общими уравнениями прямой L, являющийся линией пересечения этих плоскостей. От общий уравнений прямой можно перейти к каноническим, для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и её направляющий вектор. точку прямой наёдем из (6), выбирая одну из координат произвольно и решая полученную систему относительно оставшихся 2 координат. Для отыскания направляющего в-ра S прямой, заметим, что этот в-р, направленный по линии пересечения данных плоскостей должен быть перпендикулярен нормальным в-рам n1={A1,B1,C1} и n2{A2,B2,C2} так как векторное произведение n1х n2 перпендикулярно каждому из векторов n1 n2, то в качестве напр. в-ра можно взять в-р S= n1х n2.

Найденные координаты подставляются в ур-е (4)

44. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

<j между двумя прямыми L1, L2 = углу между направляющими в-рами:S1={m1,n1,k1} и S2={m2,n2,k2}, посему:

(8)

Возможные случаи:

1 L1 || L2 отсюда вытекает S1 || S2

(9)

2 L1 ^L2 отсюда вытекает S1 ^S2 = 0ÛÛm1×m2+n1×n2+ к1×к2=0

45. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если дана прямая:

и плоскость:

П: Ax+By+Cz+D=0

<j между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных прямой с её проекцией на эту плоскость.

Угол буде равен: