Шпаргалка: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Если М – середина АВ, то l =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:

Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.

23. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой

Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.

Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:

это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.

Заметив, что: это можно записать так:

(2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.

Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:

n0={cosj, sinj}; r={x,y}

уравнение (2) примет вид:

(3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.

Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А² +В² ¹ 0

если домножить его на постоянный множитель m, положа:

m×А= cosj, m×В= sinj, m×С = -р, где:

называется нормирующим множителем.

И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Нормальный в-р прямой - всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное ¹ 0 число.

24. Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой

в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0

(r-r0)×n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:

A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

25. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..

Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:

1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат

2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ

3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ

4 А=0, С=0 L: By=0Ûy=0ÛL=OX