Шпаргалка: Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|×|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.: Обозн в=С×а. При С=0 положим, что Са=0.

Св-ва умножения

1 (С+Д)×а=С×а+Д×а

2 С×(Д×а)=(С×Д)×а

3 С×(а+в)=С×а+С×в (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)

В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0, его длина |a0|=1

Если а ¹ 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.

Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а

а+(-а)=0; -а= (-1)×а

3 вычитание в-ров

разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а

а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.

1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на в-рах а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.

Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между в-рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ

Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.

17. Координаты и компоненты в-ра

Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.

Найдутся числа x,y,z, для которых:

а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису

Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов