Шпаргалка: Основы гидрогазодинамики

Членами третьего порядка малости пренебрегаем.

и т.д.

п_х

Получим связь напряжений, действующих на грани выделенного тетраэдра:

В проекциях на координатные оси это уравнение может быть переписано:

В записанной системе называются нормальными напряжениями, а и т.д. называются касательными напряжениями. Все напряжения могут быть записаны в матричной форме в виде симметричного тензора напряжений:

Первый индекс определяет ось, относительно которой расположена грань, второй – ось на которую проецируется напряжение.

9. Уравнение движения сплошной среды в напряжениях

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами . Объем его . На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил . К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения:

Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х . Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна:

Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную:

Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна:

Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать:

Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение).