Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

().

Обозначение ().

Если, то существует . Верно и обратное утверждение.

2. Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, у которой существовал

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

,

,

,

, если .

Бесконечно малые и бесконечно большие

1 .Функция f(x) называется бесконечно малой при x®a, если.

* Если существует и , ¸ то говорят, что a(x) и b(x) – бесконечно малые одного порядка.

* Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a(x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x).

Обозначение a=o(b).

* Если не существует, то говорят, что a(x) и b(x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует ,

то говорят, что a(x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так

.

Слагаемое называется главной частью a(x).

2 .Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если .

* Если существует и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка.

* Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A(x) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).

* Если не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно большая величина . Тогда, если существует и , ¸ то говорят, что A(x)

есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом: .

Возрастающие и убывающие функции

1 .Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было ().