Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b] и , . Тогда для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка , что .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции . Пусть , . Тогда любая прямая , где С – любое число, заключённое между А и В, пересечёт график функции по крайней мере в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением , при котором .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,

Следствие. Если функция непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Классификация точек разрыва.

Разрывы функции

1 .Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева и предел справа функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

Он имеет место, когда выполнено условие

.

В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы и существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

* Разрыв второго рода.

Если хотя бы один из и равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀ =y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀ =y`, a®a₀ )

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀ .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

*Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.