Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:

f(x)=x3-6x2-9x+1

D(f): (+∞;-∞)

f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)

f I > 0

f I < 0 при х прин.(1;3)

Функция убывает на (1;3)

Признаки существования экстремума

*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней .

*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие . Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: . Тогда возможны следующие варианты.

а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если , то в точке x0 – локальный максимум, а если , то в точке x0 – локальный минимум.

б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).

Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба

*Линия называется выпуклой , если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

*Линия наз-ся вогнутой , если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

*Необходимый признак выпуклости и вогнутости : если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

*Признаки точки перегиба : чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.

Геометрический смысл дифференциала

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx