Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

1 .Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было ().

*Говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум) если

такое, что .

Частные производные

1 .рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x0,y0)

Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0)

DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0)

Частная производная ф-ция:

*Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

Теорема о вложенных отрезках. (Лемма о вложенных отрезках)

1 .Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.

2 .Система замкнутых отрезков называется стягивающщей, если

*, т.е. каждый последующий отрезок расположен внутри предыдущего;

* , т.е. длины отрезков стремятся к нулю.

*Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.

1. Рассмотрим множество левых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)

Поэтому, существует конечный .

2. Рассмотрим множество правых концов наших отрезков. Очевидно, что

а)

б)