Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу
Непрерывность
1 .Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .
Более подробно это расшифровывается следующим образом:
*.
* . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.
* Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
2 .Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Производная.
1 .Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной от этой функции в точке x, называется предел (разумеется, если он существует)
где - приращение функции.
*Геометрический смысл производной состоит в том, что численно она равна тангенсу угла между касательной, проведенной к кривой в точке x, и осью абсцисс OX
Дифференциал
1 .Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение может быть представлено в виде
.
Линейная часть приращения функции, то есть слагаемое называется дифференциалом функции в точке х и обозначается так: .
*Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. При этом , и .
Геометрический смысл дифференциала изображен на рис. 3.5. Заметьте, что производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:
.
Выпуклость.
1 . Функция f(x) называется выпуклой на отрезке [a, b], если выполнено условие
.
Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.
2 . Функция f(x) называется вогнутой на отрезке [a, b], если выполнено условие
.
Его отличительной особенностью является то, что график вогнутой функции лежит над хордой, соединяющей две любые ее точки.(выпуклость, вогнутость :-) )