Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум

1 .Множество {x}, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.

2 . Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что x £ M ( x ³ m).

Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества {x}.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.

3 . Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}).

4 . Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

Супремум sup{x},.

Инфимум inf{x} ,.

Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.

Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.

Предел последовательности и предел функции

1 .Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

*В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

*Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

2 . Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если

.

Подчеркнем, что N зависит от e.

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

3 .Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a ,

Односторонние пределы

1 .Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--