Шпаргалка: Шпаргалка по Математическому анализу

3. Так как по условию , то

.

Обозначим этот общий предел через c:

.

4. Так как а , то очевидно что , т.е. точка ; (она принадлежит всем отрезкам сразу).

5. Докажем, что точка c единственная. Предположим противное, что точка , такая что . Но тогда было бы, что что противоречит тому, что .

Теоре́ма Вейерштра́сса (Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства)

* Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство

Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:

Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.

Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них.

Продолжим деление отрезков по индукции.

Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно имеет одну общую точку.

Далее построим подпоследовательность, что бы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an это возможно.

Полученная подпоследовательность имеет предел.

Основные теоремы о пределах

*Функция не может иметь более одного предела.

*Пусть заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке пределы соответственно и . Тогда функции

, и (при )

имеют в точке а пределы, равные соответственно:

, и .

Признаки существования предела последовательности

*Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при (или ), то функция f(x) имеет тот же пр.

Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/ (х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)