Учебное пособие: Аналитическая геометрия
Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)
Рис.5
Где точка 0 – полюс, луч 0А – полярная ось, - полярный радиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – в нашем случае от направления полярной оси).
Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0x (см. Рис.6), то будет понятно – как связаны ПДСК и полярная системы координат.
Рис.6
Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.
Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат
Выражение декартовых координат через полярные |
Выражение полярных координат через декартовы |
Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)
Найти расстояние между точками
Решение:
Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.
Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки
,
или, координаты точки М в ПДСК - .
Аналогично находим и координаты точки N:
,
или, координаты точки N в ПДСК - .
А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что
Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК
Пусть в ПДСК задан произвольный треугольник ABC: А(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) и C(x3 , y3 ), тогда площадь треугольника SABC определяется выражением