Учебное пособие: Аналитическая геометрия

Уравнением данной линии назовем такое уравнение F(x; y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, принадлежащей этой линии, и не принадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяет уравнению – значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение, обращают уравнение в тождество).

Линия

Линия, определяемая данным уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Замечание

Уравнение F(x; y) = 0 показывает также, что величины x и y зависимы: выбор некоторого значения x тут же определяет соответствующее ему значение y.

Пример 5 (о получении уравнения траектории)

Получить уравнение траектории точки М, которая в любой момент движения находится вдвое ближе к точке А(2; 0), чем к точке В(8; 0).

Решение

При выведении уравнения линии (или, что то же самое, уравнения траектории движения точки) прежде всего вводим точку М с «бегущими» координатами x и y (M(x; y) такую, что в любой момент времени точка М: во-первых, принадлежит искомой линии; во-вторых, удовлетворяет условиям сохранения расстояний до фиксированных точек с заданными координатами.

Тогда, по условию задачи

Т.о. траекторией движения точки (искомой линией) является окружность радиуса 4 с центром в точке (0; 0).

Классификация плоских линий

Плоская линия

Линия, каждая, из точек которой принадлежит некоторой (общей для всех) плоскости называется плоской линией (плоской кривой.

Алгебраические линии

Линия называется алгебраической, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением

F(x; y) = 0,

в котором функция F(x; y) = 0 представлена алгебраическим полиномом, т.е. суммой слагаемых вида a_kv x^k y^v , где k и v целые неотрицательные числа, a_kv – постоянные.

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Алгебраическая линия называется линией порядка n, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением, являющимся полиномом порядка n.

Трансцендентная линия

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной (например все тригонометрические функции, функции показательные и т.д.)

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)

Рис.9

Напомним правило отсчета углов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительного направления оси Oxпротив часовой стрелки .

С учетом сказанного