Учебное пособие: Аналитическая геометрия
Деление отрезка в данном отношении
Прежде всего, о смысле выражения «деление отрезка в данном отношении».
Пусть точка В делит отрезок А1 А2 (см. Рис.7)
Рис.7
Тогда 
, т.е., если 
, то 
. Но если отрезок «прочитать» по-другому: не А1 А2 , а А2 А1 , то 
Откуда важный вывод : при разбиении отрезка в отношении λ, важно как устроена дробь
т.е. важно, в каком направлении читается отрезок: А1 А2 , или А2 А1 .
Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении
Пусть точка В(x; y) делит отрезок А1 А2 [A1 (x1 ; y1 ) и A2 (x2 ; y2 )] в отношении λ, тогда
.
Следствие : если точка В делит отрезок А1 А2 пополам, т.е. λ = 1 (почему?), то
.
Пример 3 (о нахождении координат точки, делящейотрезок в данном отношении)
Известно, что точки А(- 2; 5) и В(4; 17) – концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Найти координаты точки С(x; y).
Решение:
По условию задачи 
, откуда
.
Тогда
,
или, окончательно,
Ответ: С(2; 13).
Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)
Треугольник АВС задан координатами вершин: А(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) и C(x3 ; y3 ). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.
Рис.8
Решение :
Для нахождения координат точки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбивает отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С,