Учебное пособие: Традиционные методы вычислительной томографии

Рассмотрим вначале физический закон распространения внешнего излучения в веществе. Пусть тонкий пучок, например - излучения, с интенсивностью падает на слой вещества с распределением линейного коэффициента поглощения (ослабления) вдоль распространения пучка. При этом феноменологически определяют через вероятность поглощения - кванта при прохождении элементарного пути соотношением .

Рисунок 1. К выводу уравнения переноса излучения (1.1).

Стационарное уравнение переноса излучения в чисто поглощающей неоднородной среде, описывающее процесс излучения в веществе, представляет собой баланс частиц или энергии и имеет вид

(1.1)

Решением уравнения (2.1) будет закон Бугера-Ламберта-Бэра для неоднородной поглощающей среды, который составляет основу расчетов ТВТ.

, (1.2)

где - интенсивность источника излучения.

Рассмотрим теперь закон распространения излучения при действии внутренних источников излучения (самоизлучающие объекты).

Рисунок 2. К выводу закона переноса излучения при действии внутреннего источника.

Пусть точечный источник излучает в телесный угол с интенсивностью в веществе с распределением линейного коэффициента ослабления вдоль прямой, соединяющей источник с небольшой площадкой , наклоненной под углом к этой прямой. Тогда для интенсивности , приходящейся на площадку , получаем [3]

. (1.3)

Выражение (1.3) учитывает четыре основных фактора: пространственное распределение источника излучения, геометрическое ослабление, ослабление излучения в веществе и наклон площадки детектора. Формула (1.3) лежит в основе ЭВТ.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА

2.1 Рассмотрим задачу восстановления двумерного распределения коэффициента ослабления при просвечивании объекта излучением внешнего источника. Источник излучения проходит дискретно вдоль объекта. Синхронно с источником с другой стороны объекта движется детектор излучения. Набор отсчетов, полученный таким образом, определяет одномерную функцию, называемую проекцией. Затем система «Источник-детектор» поворачивается относительно объекта на некоторый угол , и снимает новый набор отсчетов, определяющий следующую проекцию. По полученному набору одномерных проекций необходимо восстановить двумерное распределение . Такую схему измерений называют круговой геометрией измерений, а проекции называют параллельными проекциями.

Рисунок 3. Схема кругового сканирования с параллельными проекциями.

Пусть на плоскости, где введена прямоугольная система координат задана функция . Проинтегрируем эту функцию по некоторой прямой, лежащей в данной плоскости. Очевидно, что результат интегрирования, который обозначим , зависит от того, по какой именно прямой проводится интегрирование.

Рисунок 4. К выводу формул преобразования Радона.

Известно, что всякая прямая может быть описана уравнением

, (2.1)

где - расстояние от начала координат до этой прямой; - угол, образованный с осью перпендикуляром, опущенным из начала координат на эту прямую.

Произвольная прямая однозначно задается двумя параметрами и . Поэтому и результат интегрирования функции по некоторой прямой будет зависеть от этих же параметров, т.е. . Предположим, что функция интегрируется по всевозможным прямым. Подобное интегрирование можно также рассматривать как некоторое преобразование, которое данной функции на плоскости ставит в соответствие функцию на множестве всех прямых, задаваемую интегралами от вдоль прямых. Это преобразование называют преобразованием Радона [4,5], а функцию часто называют образом функции в пространстве Радона или проекцией, которая в обозначениях (1.2) имеет вид

. (2.2)

Задача ставится следующим образом: функция неизвестна, но известна функция , являющаяся образом в пространстве Радона; требуется по функции определить . Другими словами решение поставленной задачи сводится к отысканию явной формулы обращения или к поиску преобразования, обратного преобразованию Радона. Впервые формула обращения была получена в статье Иоганна Радона, опубликованной в 1917 году в Трудах Саксонской академии наук. Однако эта работа была незаслуженно забыта и формула обращения была открыта заново в 1961 году.

Согласно определению радоновского образа и с учетом того, что интеграл от заданной функции вдоль прямой равен интегралу по всей плоскости произведения этой функции на - функцию, аргументом которой является левая часть уравнения (2.3), имеем [6,7]

. (2.3)

Интегрирование, осуществляемое по двум переменным, можно свести к интегрированию по одной переменной. Для этого введем еще одну прямоугольную систему координат , повернутую относительно на угол . Вспомним, что при переходе от одной из этих систем координат к другой координаты меняются следующим образом:

(2.4)

(2.5)

Сделаем в (2.3) замену переменных (2.4)