Математика / Учебное пособие: Традиционные методы вычислительной томографии

Учебное пособие: Традиционные методы вычислительной томографии

. (2.16)

2.3 Выражения (2.3), (2.6) позволяет по функции найти ее радоновский образ . Существует соотношение, определяющее аналогичную связь между преобразованием Фурье этих функций. Пусть - одномерное преобразование Фурье функции по переменной , а - двумерное преобразование Фурье функции по переменным . Согласно определению

, (2.17)

. (2.18)

В трехмерном пространстве введем прямоугольную систему координат, у которой по одной оси отложены значения , а по двум другим – значения и .

Рисунок 9. Центральное сечение двумерного преобразования Фурье

Проведем плоскость, перпендикулярную плоскости и проходящую через начало координат, такую, что линия ее пересечения с плоскостью составляет с осью угол, равный (центральное сечение двумерного преобразования Фурье). В сечении этой плоскости со значениями функции получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой, например от ее расстояния до начала координат. Если это расстояние равно , координаты точки этой прямой в плоскости равны и . Следовательно, подстановкой , превращается в .

Теорема.

Пусть функция и ее радоновский образ таковы, что существуют их преобразования Фурье. Тогда одномерное преобразование Фурье радоновского образа по переменной равно функции, описывающей центральное сечение двумерного преобразования Фурье, соответствующее тому значению , при котором вычисляется преобразование Фурье функции

. (2.19)

Для доказательства (2.19) подставим в (2.17) вместо выражение (2.6) и сделаем замену переменных, аналогичную (2.4), полагая в (2.4) . Тогда получаем

. (2.20)

Сравнивая последний интеграл в (2.20) с (2.18), видим, что они равны, если в (2.20) под и понимать соответственно и . Следовательно, последний интеграл в (2.20) равен , что и доказывает сформулированную теорему. Легко убедиться, что теорема о центральном сечении справедлива и для случая, когда верно равенство (2.7).

2.4 Рассмотрим теперь формулы обращения и алгоритмы реконструкции, основанные на теореме о центральном сечении. Известно, что по двумерному преобразованию Фурье можно найти :

. (2.21)

Сделаем в (2.21) замену переменных, перейдя в плоскости к полярным координатам , так что , . Тогда (2.21) принимает вид:

. (2.22)

Теперь воспользуемся равенством (2.19) и вместо подставим в (2.22) функцию , после чего получим

(2.23)

Равенство (2.23) и является искомой формулой обращения, позволяющей с учетом (2.17) по найти функцию . Однако привлечение этого равенства для обработки данных томографических экспериментов оказывается не очень удобным из-за используемой в нем области интегрирования. Принимая во внимание равенство