Один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см больше другого, а гипотенуза 15 см. Найдите катеты.

а, b - катеты прямоугольного треугольника с - гипотенуза прямоугольного треугольника ------------------------------------------------------- а - ? см b - ?, на 3 cм > c=15 см Решение: [latex]b=a+3[/latex]   по теореме Пифагора: [latex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/latex]   подставляем все известные данные в формулу   [latex]a^{2}+(a+3)^{2}=15^{2}[/latex]   раскрываем скобки   [latex]a^{2}+a^{2}+6a+9=225[/latex]   перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знак на противоположный   [latex]a^{2}+a^{2}+6a+9-225=0[/latex]     [latex](a^{2}+a^{2})+6a+(9-225)=0[/latex]   [latex]2a^{2}+6a-216=0[/latex]   [latex]2(a^{2}+3a-108)=0[/latex]   [latex]a^{2}+3a-108=0[/latex]   Квадратное уравнение имеет вид: [latex]ax^{2}+bx+c=0[/latex]   Cчитаем дискриминант:   [latex]D=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441[/latex]   Дискриминант положительный   [latex]\sqrt{D}=21[/latex]   Уравнение имеет два различных корня:   [latex]a_{1}=\frac{-3+21}{2\cdot1}=\frac{18}{2}=9[/latex]   [latex]a_{2}=\frac{-3-21}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12[/latex]   не удовлетворяет условию задачи, так как катет не может быть отрицательным, следовательно   [latex]a=9[/latex]   [latex]b=a+3=9+3=12[/latex]   Ответ: 9 и 12 - катеты прямоугольного треугольника. Проверка: 9²+12²=15² 81+144=225 225=225